最近，ある人が「毎年財産の1割が減ると10年でゼロになる」と発言して，ネットでさざなみが立ったことがあります。実際には1割減れば 0.9 倍になり，次の年は 0.81 倍になり・・・と減っていくわけですから，これは誤りです。ご多分にもれずネットではすぐにその発言をからかう人も登場していました。が，そういうのは私としてはちょっとどうかなと思います。あまり上品じゃないですから。
実は私もそれ以前に，ある学校経営者が「補助金の年5％削減を20年続けられたらゼロになるんですよ」と言っていたのを聞いたことがあります。これもカン違いで，ある正の値にゼロ以上の有限の値をいくら掛けてもゼロになることは決してありません。
さて，上のような計算をやってみたいことは，現実の生活の場面でよく登場するのですが，たとえば \(0.9\times0.9\times\cdots\) と繰り返すのは面倒に思えます。ところが実はこの種の問題はとても簡単です。やってみましょう。知っておくべきことは次の1行です。
ある値から\(1/n\)ずつ減っていくことが \(n\)回繰り返されたら，最初の約 0.36 倍になる。
これを最初の例に当てはめてみましょう。1割は \(1/10\)ですから \(n=10\)に相当します。1割減を10回繰り返すと， 0.36 程度になるというわけです。ただしこれは成り立つのは\(n\)がおよそ10以上のときです。
その次の学校経営者の話では5%は\(1/20\)ですから， \(n=20\)になります。この場合も答えは最初の 0.36 倍になるのです。
上記の問題は関数電卓を使って計算すると，より正確な値はそれぞれ 0.35 および 0.36 となります。十分に実用的な結果になっていますね。そして \(n\)が50であろうが1000であろうが結果は同じになるところがミソです。
ということは，上以外にも，2％減を50回繰り返しても， 0.1%減を 1000回繰り返しても，元の0.36倍程度に落ち着くというわけです。拍子抜けするほど簡単ですね。
確率の計算にも使えるテクニック
このやり方は，上のような割引の繰り返しだけではなく，実は次のような確率の計算にも使えます。
ある街路で一時停止を無視して道路に飛び出したときに事故にあう確率は 2%だったとする。50回無視したときにその人が無事である確率はどれだけあるだろうか。
これも\(n=50\)としてまったく同じように計算できて，答えは 0.36 となります。じゃあ100回無視したらどうなるでしょうか？
これは2段に分けて計算するだけのことで，答えは\(0.36\times0.36 = 0.12\)となります。こんな確率では助かるほうがラッキーです。世の中には「10回ぐらいやって何もなかったらその後も大丈夫だろう」と甘い判断をする無謀な人がいるものですが，そんなことを毎日やっていたらいつかは事故を起こすんだよと，この数字を出して忠告するといいかもしれません。
数学的な理屈
上の計算の数学的な理屈を書いておきましょう。ネイピア数，あるいは自然対数の底として知られる定数 \(e = 2.718\cdots\)は，次のように定義されています。
$$ \lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac1n\right)^n = e $$
これを少しいじると次の式が得られます。
$$ \lim_{n\rightarrow \infty} \left(1-\frac1n\right)^n = \frac1{e} = 0.367\cdots $$
これらの式は \(n\) が無限に大きくなったときの極限を表しているので，「ええっ無限大なんて無理！ 」となりそうですが，\(n\)は適当に大きければ近似的に成り立つのです。まあ10程度でも実用になります。10って無限大に程遠いですよね。なあんだ！
確率の計算への応用
上の話で，2%の危険を何度も犯す無謀な人が出てきました。一般化して，確率 \(p\)で起きる事象に \(n\)回挑戦して一度も当たらない確率は次のように表せます。
$$ (1-p)^n $$
この式は，一度の挑戦で当たらない確率が \(1-p\) であって，それが\(n\)回続けて起きる確率と考えればわかります。
これを使って， 確率2%，すなわち \(1/50\)の危険を 50回犯して無事に済む確率は，次のようになります。
$$ (1-1/50)^{50} $$
この値は，すでに求めたようにほぼ 0.36 です。簡単ですね。100回犯したら，この２乗になりますし，その他のケースを概算するのに便利なやり方と思います。
ロボットを確実に動かす難しさを数値で実感する
ちょっと昔話。私は以前，国立高専の教員の時代に高専ロボコンの顧問を務めていたことがあります。部員がマシンを製作する場にずっと付き合いながら，彼らとディスカッションを持ち，部材の調達のために部員を乗せて車を運転し，夜は運動部の練習が終わったあとの体育館で試運転を繰り返していたものです。本番まで１月ぐらいになったころと記憶していますが，ゴールポストを攻略する子機を打ち出す親機の試作機の動作を一緒にチェックしていました。こまったことにトラブルなしに動く確率が低いのです。アルミの棒材を組み上げた高さ２メートル，縦横1メートルほどの機体には多数のネジやばねなどがあるのをみて，私は部員に言いました。
この機体のチェックポイントは200ぐらいはありそうだ。それぞれが 99 % の信頼度だとすると，完璧に動作する確率はどれくらいあると思う？ざっと \(1e^2\) だから1割ぐらいしかない。チェックの甘さがあるんじゃないか？
それを聞いて，部員たちは部品の信頼性の重要さを認識してくれたのかどうか。ともかく彼らは真剣に改良に取り組み，12月の国技館では，全国のチームを打ち破ってみごとに一位になりました。1999年の全国高専ロボコンでのエピソードです。