乱数を使う

コンピュータを使ったシミュレーションできわめて強力な役割を果たすものにランダムさを用いたものがあり，モンテカルロシミュレーションと総称されています。その応用は積分の計算のような数学的な目的から自然現象や社会現象にまで広範な世界を作っています。ここでは，そのほんのさわりを眺めてみることにしましょう。

データ解析用のRubyスクリプト

mkfreqtbl1.rb
整数のみの離散データを含むファイルから度数分布表のデータを作成するプログラムです．たとえば，次のようなデータを含む sample1.datというテキストファイル(CSVファイルでもよい)があったとします．
```
2,3,6
4,6,7
7,3,3
6,3,4,8
```
このとき，次のようにプログラムを走らせると，
```
  ./mkfreqtbl1.rb sample1.dat
```
下のような度数分布データが出力されます．
```
2 1
3 4
4 2
5 0
6 3
7 2
```
この出力を適当なファイル(ここでは sample1.freqとします)にリダイレクトして， GNUPLOT で処理すればヒストグラムを描画できます． GNUPLOT での描画コマンドは次のようにするとヒストグラムになります．
```
  plot "sample1.freq" with boxes
```
mkfreqtbl2.rb
離散，連続データを収録したファイルから，度数分布表のデータを作成するプログラムです．
データファイル(sample2.datとします)は上と同様ですが，小数も含まれていて構いません．まず，次のようにして走らせます．
```
  ./mkfreqtbl2.rb sample2.dat
```
すると，このプログラムはいったんすべての数値を読み込んで最大最小を求めて，さらに入力を求めてきます．次はその一例です．
```
Data:  Min = 30.5, Max = 80.9
Input: left_end right_end  n_div  [output_file]
```
データの最小値と最大値が表示されるので，度数分布を作る範囲と，分割の数を入力します．最後のファイル名[output_file] は指定しなくても構いません．指定すると，出力先ファイルはそれになります．出力先ファイルが指定されなかった場合，データファイルの拡張子を ".freq" にしたファイル名になります．
上のケースでは，次のようにデータを指定するとよいでしょう．
```
Input: 25  85  20
```
すると，プログラムは指定された区分に従ってデータを区分けして，度数分布を生成します．出力されるファイル名は sample2.freq です．このファイルも GNUPLOTで直ちにヒストグラムを得ることができます．．

演習

[0,1]の区間の一様連続分布にしたがう乱数を $n (n=1,2,4,6,12,20)$個足し合わせた和を多数回(100000回)ほど発生させなさい．その分布について，平均と分散を計算し，また分布の形をプロットしなさい．
ランダムに20人の人を集めた時に，その中で血液型がAである人の数がどのように分布することになるかを，二項分布のシミュレーションを行うことで示しなさい．計算の回数を100回，1000回，10000回などとしてみて，分布が理論的な分布と近づくことを確認すること．
平均がそれぞれ 1,3,6,10 であるようなポアソン分布に従う乱数を多数回発生させ，その分布について，上と同様の解析を試みなさい．
個体数100000の集団Aと500の集団Bがある．成熟して繁殖可能になる子の数は，親１個体あたり 0.9 とする（これは人なら TFR 1.8 に相当する）．集団A, Bについて，次のシミュレーションを行って，その結果をまとめなさい．まとめは，グラフを入れた PDF の文書で提出すること．
- 確率的な人口変動モデルを使って，集団が絶滅するまでの人口の変動をそれぞれ10回シミュレーションし，そのグラフを　GNUPLOT のグラフで示しなさい．
- 絶滅に至る世代数がどのように分布するかを，それぞれ 1000 回程度のシミュレーションの結果を使って，度数分布で示しなさい．